可換環論bot
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可換環論の初歩についてつぶやきます。オペレーター龍孫江 @ron1827 凍結解除されました。ぼちぼち頑張ります。数学日誌 http://blog.livedoor.jp/ron1827-algebr…
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おはようございます。本日より、龍孫江41歳記念企画「可換環の次元・深度とCohen-Macaulay環」始まります。第１回は、空間上の函数を集めると可換環ができ、その環を用いて元の空間を認知できるか考えます。 youtu.be/YRhemOaDdBo
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函数のなす可換環＜次元・深度とCohen-Macaulay環(1)＞
おはようございます．「直観精読」を「代数演習」と同じくWrite&Recordで作ってみました．行列のジョルダン標準形と階数の関係でひとくさり 龍孫江の直観精読：行列の階数とジョルダン標準形 youtu.be/SdsJHwyfgk8
[定理](ヒルベルト環またはジャコブソン環) いかなる素イデアルも極大イデアルの交わりに表される環をヒルベルト環またはジャコブソン環という。ヒルベルト環においては、いかなる根基イデアルも極大イデアルの交わりに表される。
[定義](零化イデアル) 加群の部分集合 S に対し、その任意の要素に乗じて 0 にできる基礎環の要素の全体はイデアルをなす。これを S の零化イデアルといい ann(S) と表す。
[定義](冪等元) ある要素がその二乗と等しいとき冪等元という。冪等元が他の冪等元の和に表せないとき原始冪等元という。1 及び 0 は冪等元であり、整域及び局所環はこれら以外の冪等元を持たない。
[定理](ジャコブソン根基の特徴づけ) 環 R の要素 x がジャコブソン根基 rad(R) に属するための必要充分条件は、任意の要素 y に対して 1+xy が単元となることである。
[定義](分数体と全分数環) 整域における非零元の全体は積閉集合をなし、これによる分数環は体となる。この体を分数体または商体という。有理数体は有理整数環の分数体である。環における非零因子の全体は積閉集合をなし、これによる分数環を全分数環という。
[定義](直和・直積) 任意個の加群の族に対し、直積集合の和及びスカラー倍を各成分の和及びスカラー倍で定義すれば加群をなし、これを直積という。成分が有限個を除き０である直積の要素の全体は部分加群をなし、これを直和という。
[定理](局所環の単元) 局所環において、極大イデアルに含まれない要素はすべて単元である。すなわち、局所環 (R,m) の単元群は差集合 R-m である。
[定義](素スペクトルとザリスキ位相) 環 R の素イデアル全体を素スペクトルといい Spec R と表す。イデアル I を包む素イデアル全体を V(I) と表すとき、Spec R は総ての V(I) を閉集合系とする位相が定まり、これをザリスキ位相という。
[定義](部分加群の和・交叉) ある加群の部分加群 M および N が与えられたとき、両者の要素の和として表される要素の全体 M+N、両者の共通部分 M∩N はそれぞれ部分加群をなす。M+N を M と N の和、M∩N を M と N の交叉という。
[定理](局所環である条件) 環 R の極大イデアル m が与えられたとする。任意の m の要素 x に対し 1+x が単元となるとき、R は局所環である。
[定義](イデアルの高さ) 可換環 A の素イデアル P に対し、P を最大元とする素イデアルの鎖の長さの上限を P の高さという。これは A の P による局所化の次元に等しい。A のイデアル I に対し、I を包む素イデアルの高さの下限を I の高さといい、ht I と表す。
群の定義の何が謎めいているかといえば 「これだけの公理から、なんであんなに豊かな理論ができるのか」 ですよ。群論を学ぶとは、この謎に向かって進んでいくことなのかな、と思っています。 youtu.be/Ui5i_5uMrnY
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