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f,gはともにtの関数とする。 (1) a＜bの時次のS,Tの大小を比較せよ。 S={∫[a→b]√(f^2+g^2)dt}^2 T=(∫[a→b]fdt)^2+(∫[a→b]gdt)^2 (2) (x=F(t),y=G(t)) (a≦t≦b)で表される曲線の弧がある。(1)でf=dF/dt,g=dG/dtとするとき、S,Tの幾何学的な意味を説明せよ。
Gを位数24の有限群、Hをシロー2部分群の一つとし、G,Hはともにアーベル群でないとする。Gのシロー2部分群及びシロー3部分群が正規部分群とならない時、Gは4次対称群S_4と同型である事を示し、Hの群構造を決めよ。
(1) ある投手Oは毎回150gの球を165km/hで投げることができる。球速がOの体格と球の重さに比例するとすれば、第二宇宙速度で投球できる場合、Oと球はどのように変異されるべきか？ (2) (1)のOが地球をちぎって1分間隔で投げる時、地球がバラバラになるのにかかる時間を秒単位で求めよ。 (頭脳王プレ)
⚪️➖🔘 ランプ(消灯)と接続したボタンを1回押すと次の確率%に従ってランプが色を変えて点灯する。 押す前の色→押した後の色 ⚪️→(🔴,🟡,🔵)=(100,0,0) 🔴→(🔴,🟡,🔵)=(10,30,60) 🟡→(🔴,🟡,🔵)=(40,20,40) 🔵→(🔴,🟡,🔵)=(50,50,0) n回ボタンを押した時の各色の点灯確率を求めよ。 (数学検定1級)
方程式x^17+7x=1…(A)について (1) (A)の17個の解の17乗の総和を求めよ。 (2) (A)の17個の解の逆数和を求めよ。
実数yに対してyを超えない最大の整数を[y]と表す。正の実数pに対してJ(p)を以下のように定義する。 J(p)=lim[m→∞]∑[k=1→m] {√p/m^(2p+1)}[(m^2-k^2)^p] 極限値lim[n→∞]J(n)J(n-1/2)を求めよ。
方程式x^3=1の虚数解の一つをω、方程式x^5=1の虚数解の一つをψとする。次の値を求めよ。ただし、Re(z)で複素数zの実部を意味する。 (1) ω^(2n)+ω^n+1 (2) (ω+1)^(2n)+(ω+1)^n+1 (3) ψ^4+ψ^3+ψ^2+ψ (4) Re(ψ)
飛行機の模型を地上から仰角θ(0＜θ＜π/2),初速u(u＞0)で発射する。この模型の質量や空気抵抗は無視できるものであり、重力加速度はg(g＞0)とする。この模型に伸縮しない軽い糸の一端を取りつける。模型が発射後再び地面に到達した時、糸の模型から他端までの長さを求めよ。 (数学Ⅲ 教科書)
(1) 実数xがx≧0を満たすとき、x-(x^2)/2≦log(1+x)≦xを証明せよ。 (2) (1)を利用して、2/3＜log2＜3/4を証明せよ。 (3) (1)を利用して、-(e^2-4e-4)/4e＜log2＜(e^3-12e^2+36e+16)/24eを証明せよ。必要であればe＞2を用いよ。 (pineapple0310様)
nは非負整数。xy平面上のある点列P_nは次の規則に従う。 (a) P_0(1,0),P_1(2,1) (b) O,P_n,P_(n+1)は反時計回りに配置 (c) n≧1のとき△OP_nP_(n+1)と△OP_(n-1)P_nにおいて次が成立 OP_(n+1)/OP_n=OP_n/OP_(n-1) ∠P_(n-1)OP_n=∠P_nOP_(n+1) n≧1のときP_nはx軸上にないことを示せ。 (H17 東大対策)
△ABCについて、∠ABCの二等分線とACの交点をX、∠ACBの二等分線とABの交点をYとする。また、△ABCの外心をO、∠BAC内にある傍心をEとする。 このとき、XY⊥OEを証明せよ。 (フォロワー提供問題)
次の【文章】の数学的な誤りを指摘せよ。 【文章】 先生「おいお前ら、モテ期って3回来るっていうだろ？その3回にはな、実は重解と虚数解も含まれるんだよ。だから三重解ですごいモテ期が1回だけ来る人もいるし、逆に全部虚数解で1回もモテ期がないやつもいるんだぞｗｗｗ」
数列1,2,2^2,2^3,…,2^2013を考える。この数列の中で首位の数字が4であるものはいくつあるか。ただし、2^2014は607桁の数であり、首位の数は1である。 (H25 筑波大附駒場高)
nを自然数、iを虚数単位とする。 数列a_n,b_nを a_1=b_1=2 4a_(n+1)=√2a_n-√6b_n 4b_(n+1)=√6a_n+√2b_nで定め、z_n=a_n+ib_nとする。 複素平面上の3点0,z_n,z_(n+1)を頂点とする三角形をT_nとするとき、図形S=T_1∪T_2∪…∪T_n∪…の面積を求めよ。 (H28金沢大)
n個の正方行列が算術的とは、互いに異なる零行列でない行列の積が、どのような順にかけても同じとなることを指す。 命題「n個の行列のうち少なくともn-1個が対角行列ならばそれらは算術的である。」の真偽を調べよ。真なら証明を、偽なら反例とこの命題の修正を与えよ。
0≦x≦2πで連続な函数f(x)が以下の等式を満たす時、f(x)が唯一定まるための実数a,bの条件を求め、f(x)を決定せよ。 f(x)=a/2π ∫[0→2π]sin(x+y)f(y)dy+b/2π ∫[0→2π]cos(x-y)f(y)dy+sinx+cosx (H13東京大)
AB is tangent to the circles CAMN and NMBD. M lies between C and D on the line CD, and CD is parallel to AB. The chords NA and CM meet at P; the chords NB and MD meet at Q. The rays CA and DB meet at E. Prove that PE = QE. (H12 IMO Korea)
(1) a^3+b^3+c^3-3abcを因数分解せよ。 (2) a,b,cが正の実数のとき、(a+b+c)/3≧[3]√abcを証明せよ。ただし、[n]√xでn乗根を表す。 (3) (2)のa,b,cがさらにa+b+c=πを満たすとき、sin(a)sin(b)sin(c)の最大値を求めよ。 (H11 京都大)
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