数学問題bot(易)
@bot_mathematica
面白いと思った問題を集めています 難易度は易しいです (問題数が少なく、試験運用の段階です)
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0≦x≦π/2の定義域で、f_n(x),g_n(x)を以下のように定める(nは自然数) f_1(x)=cosx, f_k+1(x)=cos(f_k(x)) g_1(x)=sinx, g_k+1(x)=sin(g_k(x)) (k=1,2,3,…) f_m(x)=g_m(x)が解を持つ自然数mを全て求めなさい 但し、g_4(1)<f_3(1)<g_3(1)であることを用いてよい
定義域が −a<x (a>0)であるような 微分可能なグラフCのうち 以下をC上の各点Pにおいて満たすものを求めなさい(y=~の形で) ①PにおけるCの接線のx切片は負 ②(PにおけるCの接線のx切片)= −(PにおけるCの法線のx切片)
正n角形A_1,A_2,…,A_nがある ここで、ベクトルPを辺A_k,A_k+1に正射影したベクトルをP_kとする(k=nのとき、k+1=1とする) このとき、Σ(k=1→n)P_kをPで表しなさい
aを3以上の自然数とする。 2^m(m=0,1,2,…)のうち、a進数表記で桁数がn以下の数を考え、 そのような数のうち、最高位の数がi(i=1,2,…,a-1)である数の個数をN(n,i)とする。 a=2^k+2^l (k,lはk>lを満たす自然数)であるとき、N(n,i)をiを自由に選んでnで表しなさい
1からnまでの数字から重複を許して2つ選んだときの2数の和をSとするとき、Sがmで割り切れる確率が1/mとなった。 n=p^a*q^b(p,qは素数)(a,bは素数)のとき、考えられる自然数mの個数を場合分けして求めなさい
各桁の数が1~9の一つずつであるような、9桁の数Aがある ここで、i=1,2,…,9について、 Aの上i桁の値がiで割り切れるようなAを全て求めなさい
点P1~P4が、それぞれ(a,0),(0,a),(-a,0),(0,-a)にあり(a>0)、そこから、常にP_iはP_i+1を向いて速度v(v>0)で動く(i=4のときi+1=1とする)。 P_1~P_4が重なったときまでを考える。 このとき、P1の移動距離と、P1の軌跡を求めなさい
下の式を満たす、素数p(4で割った余りが1でない)と、自然数a,b,cの組を求めなさい。 a^2+2^b=p^c かつ b,c≧2
x> −aで定義され、定義域内で微分可能な関数f(x)が以下を満たしている ①2x=〔{1/f'(x)}−f'(x)〕*f(x) ②x< {f(x)/f'(x)} f(x)を求めなさい
pは2を原始根に持つ素数である ここで、S(n)=(2^nを(p+1)進数表記したときの各位の数の和)とする。 このとき、S(n)>S(n+1)となるnは無数に存在するか示しなさい
定義域が −a<x (a>0)であるような 微分可能なグラフCのうち 以下をC上の各点Pにおいて満たすものを求めなさい(y=~の形で) ①PにおけるCの接線のx切片は負 ②(PにおけるCの接線のx切片)= −(PにおけるCの法線のx切片)
a^2,b^2,c^2が等差数列をなすような自然数a,b,cを全て求めなさい(a<b<c) また、長さ4以上で、項が全て平方数であるような等差数列(公差>0)は存在しないことを示しなさい
1からnまでの数字から重複を許して2つ選んだときの2数の和をSとするとき、Sがmで割り切れる確率が1/mとなった。 n=p^a*q^b(p,qは素数)(a,bは素数)のとき、考えられる自然数mの個数を場合分けして求めなさい
d(n)=(nの正の約数の個数)とし(nは自然数)、 f(n)=d(n^m)/d(n)とする。(mは自然数) このときm=2,3の場合でf(n)のとりうる整数値をそれぞれ全て求めなさい
正n角形A_1,A_2,…,A_nがある ここで、ベクトルPを辺A_k,A_k+1に正射影したベクトルをP_kとする(k=nのとき、k+1=1とする) このとき、Σ(k=1→n)P_kをPで表しなさい
点P1~P4が、それぞれ(a,0),(0,a),(-a,0),(0,-a)にあり(a>0)、そこから、常にP_iはP_i+1を向いて速度v(v>0)で動く(i=4のときi+1=1とする)。 P_1~P_4が重なったときまでを考える。 このとき、P1の移動距離と、P1の軌跡を求めなさい
下の式を満たす、素数p(4で割った余りが1でない)と、自然数a,b,cの組を求めなさい。 a^2+2^b=p^c かつ b,c≧2
aを3以上の自然数とする。 2^m(m=0,1,2,…)のうち、a進数表記で桁数がn以下の数を考え、 そのような数のうち、最高位の数がi(i=1,2,…,a-1)である数の個数をN(n,i)とする。 a=2^k+2^l (k,lはk>lを満たす自然数)であるとき、N(n,i)をiを自由に選んでnで表しなさい
pは2を原始根に持つ素数である ここで、S(n)=(2^nを(p+1)進数表記したときの各位の数の和)とする。 このとき、S(n)>S(n+1)となるnは無数に存在するか示しなさい
x,y,z空間座標中に、A:(1,0,0)と、原点を中心とする半径1の球面Sがある。 S上の点Bについて線分ABを直径とする球をRとすると、BがS上を自由に動く時、Rの通りうる領域の体積を求めなさい
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