関数方程式bot
@FEproblem
問題中にf(ほげほげ)という形が現れるものを主に集めたので組み合わせや整数もあります。難易度は1～10の10段階評価で1～4はjmoレベル、5.6がimo2番級、7.8.9.10が3番級以上です。
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特に断りがない場合、出ている関数全てについて条件を満たすものを全て決定してください。Nで自然数、Zで整数、Qで有理数、Rで実数全体の集合を表し、右に＋で正、(≧0)で非負の条件が追加されています。またこちらも断りがない場合、関数S→Tについて方程式中のx.y等はSに属する任意の元です。
f:N→N m＞n かつ f(m^2)－nf(m)≠0 なる任意の自然数m、nに関して mf(m－n) / f(m^2)－nf(m) が自然数。 2018 和田杯 Lv5
f:Z→Z a＋b＋c＝0の時、 f(a)^2＋f(b)^2＋f(c)^2＝2f(a)f(b)＋2f(b)f(c)＋2f(c)f(a) 2012 IMO 4 Lv6
f:R→R f(f(x)+y)+1=f(x^2+y)+2f(x)+2y 2020 Final Mathematical Cup senior1 Lv2
f.g.h:R→Rで全て単射 f(x＋f(y))＝g(x)＋h(y) g(x＋g(y))＝h(x)＋f(y) h(x＋h(y))＝f(x)＋g(y) x.yは任意の実数 f.g.hを求めよ。 2014ELMO1 Lv6
注意: このbot内では N、自然数という表現で正の整数のことをさしています。 (ほげほげ/ほげほげ)では前が分子後ろが分母にあたる分数を表します。
f:N→N f(1)＝1 f(n＋1)＝f(n)＋2^f(n) f(1)、f(2)、･･･、f(3^2013) を3^2013で割った余りは全て異なることを示せ。 2013USA TSTST 8 Lv4
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